Решение неравенств. Неравенства с одной переменной. Решение линейных неравенств. Метод интервалов. Неравенства с модулем

Неравенства с одной переменной

Пусть дано неравенство Неравенство . Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с одной переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства с одной переменной. Решить неравенство с переменной - значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают.

Замена одного неравенства равносильным ему другим неравенством называется равносильным переходом от одного неравенства к другому.

При решении неравенств обычно заменяют данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному; полученное неравенство снова заменяют более простым, равносильным данному неравенству и т.д. Такие замены осуществляются на основе следующих утверждений.

Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное данному: Неравенство и Неравенство (больше нуля) равносильны.

Если к обеим частям неравенства с одной переменной прибавить или вычесть одно и то же число, то получится неравенство, равносильное данному: Неравенство и Неравенство (больше нуля) равносильны для любого действительного числа a.

 

Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному: Неравенство и Неравенство равносильны для любого неравенство а больше нуля .

Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному: Неравенство и Неравенство равносильны для любого неравенство а меньше нуля .

Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной положительные значения, то получится неравенство, равносильное данному.

Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной отрицательные значения, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Пусть известно, что для любого действительного числа x справедливо равенство равенство тогда равносильны неравенства Неравенство и Неравенство .

Для графического решения неравенства Неравенство нужно построить графики функций функция и функция и выбрать те промежутки оси абсцисс, на которых график функции функция расположен выше графика функции функция .

Два неравенства неравенство и решение неравенств называются неравенствами одинакового смысла, а вида неравенство и неравенство неравенствами противоположного смысла.

Преобразование неравенств с одной переменной:

неравенство

Решение линейных неравенств

Линейным называется неравенство вида неравенство ax>b (или соответственно неравенство).

Если неравенство a>0, то неравенство неравенство ax>b равносильно неравенству неравенство , значит, множество решений неравенства есть промежуток промежуток .

Если неравенство a<0, то неравенство неравенство ax>b равносильно неравенству неравенство , значит, множество решений неравенства есть промежуток промежуток.

Если a=0, то неравенство принимает вид неравенство, т.е. оно не имеет решений, если неравенство b>=0, и верно при любых х, если неравенство b<0.

Многие неравенства в процессе преобразований сводятся к линейным.

Решение рациональных неравенств методом промежутков (методом интервалов)

Решение рациональных неравенств вида неравенство (вместо знака > может быть и любой другой знак неравенства), где функция и функция - многочлены, основано на следующем рассуждении.

Рассмотрим функцию неравенство, где неравенство . Если неравенство , то каждый из сомножителей неравенство положителен, и, следовательно, на промежутке промежуток имеем неравенство. Если неравенство, то неравенство, а остальные сомножители по-прежнему положительны. Значит, на интервале промежуток имеем неравенство. Аналогично на интервале промежуток будет неравенство и т. д.

Изменение знаков функции функция удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой, так называемой «кривой знаков», которую чертят справа налево, начиная сверху. На тех промежутках, где эта кривая проходит выше координатной прямой, выполняется неравенство неравенство, на тех же промежутках, где кривая проходит ниже прямой, имеем неравенство.

Для проведенного выше рассуждения было несущественно количество линейных множителей в числителе и знаменателе, а также взаимное расположение корней числителя и знаменателя дроби на координатной прямой. Поэтому оно применимо и для функции вида:

неравенство, где числа неравенство попарно различны. Изменение знаков функции функция мы также можем иллюстрировать с помощью кривой знаков, которую чертят справа налево, начиная сверху, и проводят через все отмеченные на координатной прямой точки переменные. На этом основан метод промежутков, который применяется для решения рациональных неравенств.

Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

При решении неравенств, содержащих переменные под знаком модуля, используется определение модуля:

Неравенство

Можно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой модуль означает расстояние точки а координатной прямой от начала отсчета О, а модуль разности означает расстояние между точками а и b на координатной прямой.

Можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства, основанный на следующей теореме. Если выражения функция и функция при любых х принимают только неотрицательные значения, то неравенства Неравенство и Неравенство равносильны.

Можно использовать свойства неравенств, содержащих переменную под знаком модуля:

системы неравенств