Правила нахождения первообразной функции. Площадь криволинейной трапеции.

Первообразная функции

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) , если функция f(x) является производной функции F(x).

У одной и той же функции f(x) много первообразных. Если F(x) - первообразная функции f(x) , то и любая функция F(x)+C , где С - число, является первообразной той же функции.

Доказательство. F(x). Верно и обратное: если F(x) и G(x) - две первообразные одной и той же функции f(x) , то G(x)=F(x)+C . И в самом деле, так как G'(x)=f(x) и F'(x)=f(x) то G'(x)=F'(x) , то есть (G(x)-F(x))'=0 . А производная равна нулю только у постоянной функции. Отсюда и получается, что G(x)-F(x)=C , или G(x)=F(x)+C , ч.т.д.

Неопределенным интегралом функции f(x) называется множество первообразных этой функции.

Неопределенный интеграл функции f(x) обозначается символом Интеграл . Чтобы найти интеграл от данной функции, нужно найти любую ее первообразную и прибавить к ней произвольное число С. Так, Интерграл, и т.д.

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейной трапецией называется фигура, расположенная в прямоугольной системе координат и ограниченная осью абсцисс, прямыми х = а и х = b и кривой Функция, причем функция неотрицательна на отрезке промежуток. Приближенно площадь криволинейной трапеции можно найти так:

  1. разделить отрезок промежуток оси абсцисс на n равных отрезков;
  2. провести через точки деления отрезки, перпендикулярные к оси абсцисс, до пересечения с кривой функция;
  3. заменить получившиеся столбики прямоугольниками с основанием функция и высотой, равной значению функции f в левом конце каждого отрезка;
  4. найти сумму площадей этих прямоугольников.

Но можно найти площадь криволинейной иначе: по формуле Ньютона-Лейбница. Для доказательства формулы, носящей их имена, докажем, что площадь криволинейной трапеции равна функция, где - любая из первообразных функции функция, график которой ограничивает криволинейную трапецию.

Вычисление площади криволинейной трапеции записывается так:

  1. находится любая из первообразных первообразная функции функции функция.
  2. записывается интеграл. площадь криволинейной трапеции - это формула Ньютона-Лейбница.
>исследование функции на экстремум

>исследование функции на экстремум pic15

Правила нахождения первообразных

Первообразная суммы двух функций

Интеграл суммы двух функций равен сумме интегралов этих функций: интеграл.

Доказательство: Пусть первообразная функции и первообразная функции - первообразные функций функцияи функция. Тогда первообразная. Но известно, что первообразная функции, то есть первообразная суммы. Тем самым доказано, что функция сумма первообразных - первообразная функции сумма функций. Отсюда получаем: интеграл интеграл. И так как С1, С2 и С3 - произвольные числа, то окончательно имеем: интеграл, ч.т.д.

Первообразная произведения функции на число

Если первообразная функции первообразная функции функция, то интеграл.

Доказательство: Пусть первообразная функции первообразная функции ф174. Тогда производная первообразной функции равна самой функции, а первообразная функции, откуда и получается доказываемое равенство.