Формулы преобразования логарифма. Логарифм произведения, частного, степени, корня. Формула перехода от одного основания логарифма к друго

Логарифм произведения, частного, степени, корня

Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей: Логарифм произведения.

Доказательство: Логарифм произведения А если равны значения одной и той же показательной функции, то равны и значения аргумента: Логарифм произведения, ч.т.д.

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов множителей: Логарифм частного.

Доказательство: По предыдущей теореме, Логарифм частного. Отсюда Логарифм частного, ч.т.д.

Логарифм степени с положительным основанием равен показателю степени, умноженному на логарифм основания: Логарифм степени.

Доказательство: Логарифм степени. А если равны значения одной и той же показательной функции, то равны и значения аргумента: Логарифм степени. ч.т.д.

Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного числа, деленному на показатель корня: Логарифм корня.

Доказательство: Логарифм корня, ч.т.д.

Формула перехода от одного основания логарифма к другому

Переход к логарифмам с новым основанием осуществляется по правилу, которое можно выразить так: логарифм числа по старому основанию равен логарифму того же числа по новому основанию, деленному на логарифм старого основания по новому основанию: Формула перехода от одного основания логарифма к другому.

Для доказательства этой формулы перепишем ее так: Формула перехода от одного основания логарифма к другому. А теперь рассмотрим выражение Формула перехода от одного основания логарифма к другому. Преобразуем его: Формула перехода от одного основания логарифма к другому. И поскольку равны значения одной и той же показательной функции, то равны и значения аргумента: Формула перехода от одного основания логарифма к другому, ч.т.д.