Логарифмическая функция 

Логарифмическая функция - функция, обратная показательной функции.

Чтобы получить формулу логарифмической функции, напишем формулу показательной функции , выразим х через у и поменяем обозначения переменных:

В этой формуле число а - то самое, которое является основанием показательной функции. То есть а обязательно положительное число, не равное единице.

Теперь можно дать и другое определение: Логарифмической функцией называется функция, которую можно задать формулой , где а - положительное число, не равное единице.

Основное логарифмическое тождество

Пусть числа у, a и x связаны соотношением , причем

Тогда верно тождество .

Подставим в равенство вместо числа x его значение . Получим тождество .

Это тождество называется основным логарифмическим тождеством, так как оно в точности передает определение логарифма: логарифмом числа y при основании a называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число y.

Логарифмическая функция при основании, меньшем 1

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой .

Поэтому мы можем построить график логарифмической функции без ее исследования, а только опираясь на определение.

Получилась кривая, проходящая через точки (1;0) и (а;1). По этому графику мы можем установить следующие свойства логарифмической функции с основанием, меньшим единицы:

1. область определения - та же, что и область значений показательной функции - множество всех положительных чисел;
2. область значений - та же, что и область определения показательной функции - множество всех действительных чисел;
3. нулем функции является число 1, так как логарифм единицы равен нулю;
4. интервалы знакопостоянства (0;1) и (1; ) на первом функция положительна, на втором отрицательна;
5. функция убывает на всей области определения, так же, как и показательная функция с основанием, меньшим единицы;
6. функция стремится к , когда аргумент стремится к нулю. Функция стремится к , когда аргумент стремится к .

Логарифмическая функция при основани, большем 1

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой . Поэтому мы можем построить график логарифмической функции без ее исследования, а только опираясь на определение. Получилась кривая, проходящая через точки (1;0) и (а;1). По этому графику мы можем установить следующие свойства логарифмической функции с основанием, большим единицы:

1. область определения - та же, что и область значений показательной функции - множество всех положительных чисел;
2. область значений - та же, что и область определения показательной функции - множество всех действительных чисел;
3. нулем функции является число 1, так как логарифм единицы равен нулю;
4. интервалы знакопостоянства (0;1) и (1;); на первом функция отрицательна, на втором положительна;
5. функция возрастает на всей области определения, так же, как и показательная функция с основанием, большим единицы;
6. функция стремится к , когда аргумент стремится к нулю. Функция стремится к , когда аргумент стремится к +0.

Десятичные и натуральные логарифмы

Среди других оснований логарифмов весьма удобны для вычислений десятичные логарифмы - логарифмы при основании 10. Это связано с тем, что мы пользуемся десятичной системой счисления. Десятичные логарифмы даже обозначаются особым знаком .

Но есть такое основание логарифмов, которое объективно удобнее остальных для вычислений. Самое удобное для вычислений - когда функция и аргумент изменяются примерно одинаково. Именно таким является логарифм, график которого пересекает ось абсцисс в точке 1 под углом 45°. Ученые назвали такой логарифм натуральным и обозначили его основание буквой е в честь Леонарда Эйлера.

Натуральные логарифмы обозначаются сокращенной формулой ln: . Достаточно помнить, что е =2,7….