Производные показательной и логирифмической функций
Правила отыскания производных показательных и логарифмических функций.
Формула производной показательной функции:
.
Чтобы оценить, чему равен
, посмотрим, какой смысл имеет выражение
, стоящее под знаком этого предела.
Для этого отложим приращение
от нуля. Разность 
окажется приращением функции в точке 0. Следовательно, отношение
окажется тангенсом угла наклона секущей, проходящей через точку графика с абсциссой 0.
Но это значит, что - это тангенс угла наклона касательной, проходящей через точку графика с абсциссой 0. Мы доказали, что - это производная функции
в точке 0:
,
где k - производная функции в точке нуль. Отсюда сразу получается формула для
.
Ведь число е - основание логарифмической функции, график которой пересекает ось абсцисс под углом 45°. Но тогда график обратной функции
пересекает под углом 45° ось ординат, а следовательно, и ось абсцисс. То есть производная функции в нуле равна 1.
Отсюда 
.
По формуле производной обратной функции получаем производную натурального логарифма:
.
Теперь получаем производную логарифма с произвольным основанием: 
.
И, наконец, получаем производную показательной функции с произвольным основанием:
.
