Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке

Говорят, что функция функция , определенная на промежутке Х, достигает на нем своего наибольшего (наименьшего) значения, если существует точка а, принадлежащая этому промежутку, такая, что для всех х из Х выполняется неравенство функция .

Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Наибольшее значение М и наименьшее значение m непрерывной функции могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка является точкой экстремума.

экстремум

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции функция на отрезке отрезок [a,b] :

  1. найти производная функции;
  2. найти точки, в которых производная функции равна нулю или производная функции не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка отрезок [a,b];
  3. вычислить значения функции функция в точках, полученных в п.2, и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции функция на отрезке отрезок [a,b] , которые можно обозначить так: наибольшее и наименьшее значения функции.

Если поставлена задача найти наибольшее и наименьшее значения функции для непрерывной на интервал (a,b) функции функция , то она решается по тому же правилу, что соответствующая задача для отрезка отрезок [a,b] .

Отличие: на третьем этапе вместо вычисления значений функции на концах отрезка находят пределы функции при приближении к концам интервала.

Иногда для отыскания наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции функция на промежутке интервал (a,b) полезны два утверждения:

  1. если функция функция имеет в промежутке Х только одну точку экстремума экстремум, причем это точка максимума, то функция - наибольшее значение функции на промежутке Х;
  2. если функция функция имеет в промежутке Х только одну точку экстремума экстремум, причем это точка минимума, то функция - наименьшее значение функции на промежуткеХ.