Тригонометрические преобразования 

Основные преобразования тригонометрических выражений

Дерево разделов:

Формулы сложения аргументов. Формулы двойного аргумента. Формулы половинного аргумента. Формулы преобразования суммы в произведение. Фор�

Формулы сложения аргументов

Синус суммы двух чисел равен сумме произведений синуса первого числа на косинус второго и косинуса первого числа на синус второго:

Доказательство строится с использованием формул приведения:

, что и требовалось доказать.

 

Синус разности двух чисел равен разности произведений синуса первого числа на косинус второго и косинуса первого числа на синус второго:

Доказательство опирается на четность косинуса и нечетность синуса:

, что и требовалось доказать.

 

Косинус разности двух чисел равен сумме произведений косинусов и произведения синусов данных чисел:

 

Косинус суммы двух чисел равен разности произведения косинусов и произведения синусов данных чисел

Доказательство опирается на четность косинуса и нечетность синуса:

, что и требовалось доказать.

 

Тангенс суммы (разности)

Если числа х, у и х±у входят в область определения тангенса, то тангенс суммы (разности) чисел х и у равен сумме (разности) тангенсов этих чисел, деленной на единицу минус (плюс) произведение тангенсов этих чисел:

, если .

Доказательство.

,

что и требовалось доказать.

Формулы двойного аргумента

Положив в формулах синуса суммы, косинуса суммы и тангенса суммы , получим формулы двойного аргумента:

, где

Заметим, что формула косинуса двойного угла имеет два разных продолжения, так как в ней можно выразить через , а можно выразить через :

.

Формулы половинного аргумента

Формула синуса половинного аргумента

Среди формул двойного аргумента для синуса и косинуса есть такие, в которых участвуют всего два выражения. Это формулы косинуса двойного аргумента. В одной из этих формул имеются косинус двойного аргумента и синус «одинарного» аргумента. Заменив в этой формуле 2х на х, а х на х/2, мы получаем формулу синуса половинного аргумента:

,

,

.

Здесь знак перед корнем зависит от того, каково число х/2: если оно оканчивается в верхней полуплоскости, то используется знак +, а если в нижней, то знак -.

Формула косинуса половинного аргумента

Используем другую формулу косинуса двойного аргумента, в которой присутствует еще только косинус «одинарного» аргумента. Заменив в этой формуле 2х на х, а х на х/2, мы получаем формулу косинуса половинного аргумента:

,

,

.

Здесь знак перед корнем зависит от того, каково число х/2: если оно оканчивается в правой полуплоскости, то используется знак +, а если в левой, то знак -.

Формулы тангенса половинного аргумента

Поделив синус половинного аргумента на косинус половинного аргумента, мы получаем формулу тангенса половинного аргумента:

, где .

Здесь знак перед корнем зависит от того, каково число х/2: если оно оканчивается в первой или в третьей четвертях, то используется знак +, а если во второй или в четвертой, то знак -. Но имеются еще две формулы для тангенса половинного аргумента, свободные от иррациональности. Вот как они выводятся:

, .

, .

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента

Воспользуемся формулами тангенса половинного аргумента, чтобы выразить через него синус и косинус «одинарного» аргумента: при этом обозначим тангенс половинного аргумента через t:

, откуда

.

Тангенс выражается через тангенс половинного аргумента по уже известной нам формуле:

, где , .

В итоге имеем следующие формулы выражения тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента:

1. ;
2. ;
3. .

Формулы преобразования суммы в произведение

Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. , где определяется из соотношения , ;
6. ;
7. .

Формулы преобразования произведения в сумму

1. , то есть произведение синуса и косинуса двух чисел равно полусумме синуса суммы этих чисел и синуса их разности.
2. , то есть произведение косинусов двух чисел равно полусумме косинуса суммы этих чисел и косинуса их разности.
3. , то есть произведение синусов двух чисел равно полуразности косинуса разности этих чисел и косинуса их суммы.